Orientações para a produção de texto

A segunda semana de outubro (08 a 10 de outubro) será destinada à produção do texto escrito referente à primeira avaliação da disciplina.
O objetivo é que cada licenciando elabore, por meio de texto escrito individual, suas ideias acerca de:
* Quais as suas concepções sobre Matemática e Educação
* O que é Educação Matemática
* O que diferencia "ensinar Matemática" de "educar matematicamente"
*Como cada uma das tendências em Educação Matemática estudadas (Etnomatemática, Resolução de Problemas, jogos, História da Matemática) pode colaborar na educação matemática de estudantes da Educação Básica.

Esperamos que a partir dessa produção seja possível uma organização das ideias de cada um, permitindo-lhe a tomada de consciência acerca de suas concepções. Para isso, a fundamentação teórica a partir das leituras realizadas na disciplina é fundamental. Isso, no entanto, não significa que o texto produzido seja um resumo de todos os textos lidos na disciplina, mas uma síntese das ideias produzidas a partir do estudo desses autores.

O material deve ser enviado para o e-mail evalves@uol.com.br até o dia 17/10/2018.

6. História da Matemática na Educação: Espelho ou pintura?

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: ESPELHO OU PINTURA?

 Cristina Dalva Van Berghem Motta, FEUSP, crisberghem@yahoo.com.br

A História da Matemática como um espelho:

A imagem especular do desenvolvimento de um conceito científico nos planos históricos e individuais foi um dos princípios norteadores para a educação baseada na orientação positivista, que via a abordagem histórica da Matemática como forma de manter uma visão conjunta do progresso desta ciência e de apresentar os conceitos em um grau crescente de complexidade, conforme foram se desenvolvendo na evolução da humanidade. Esta orientação exerceu grande influência no ensino da Matemática, principalmente por colaborar na concepção da Matemática como um corpo cumulativo de conhecimentos seqüenciais e ordenados hierarquicamente, que se reflete até hoje na elaboração dos programas de ensino.

O pressuposto fundamental do positivismo é o de que a sociedade humana é regulada por leis naturais, invariáveis, independentes da vontade e da ação humanas. Em decorrência disto aplica-se a mesma metodologia para o estudo das ciências naturais e das ciências sociais. Essas características da filosofia positivista que Auguste Comte (1798-1857) apresentava em seus cursos na França do século XIX agradaram a nova burguesia do período do Império em nosso país, por possibilitarem a conciliação entre ordem e progresso. Entre os engenheiros e os docentes de Matemática das instituições militares brasileiras encontravam-se ex-alunos de Comte, que ao retornarem ao Brasil se tornaram os primeiros divulgadores do positivismo e adotaram o modelo de racionalidade técnica por ele defendido (Silva, 199, p. 216).

Para Comte, o progresso do conhecimento humano se realizaria por meio de três estados: o estado teológico, no qual o homem explica as coisas e os acontecimentos através de seres ou forças sobrenaturais; o estado metafísico, quando há o recurso a entidades abstratas e idéias que expliquem os fatos; e o estado positivo, quando o homem explica as relações entre as coisas e os acontecimentos pela formulação de leis, renunciando conhecer as causas e a natureza íntima das coisas.  A sucessão dos três estados se daria em termos individuais e em termos da História das Ciências. Com a “lei dos três estados”, Comte reconhece uma similaridade de etapas na evolução de um conceito no plano individual e no plano da história da ciência. Cria, assim, uma visão internalista e indutivista da história da ciência e estabelece uma subordinação determinista do presente em relação ao passado: a História seria um espelho do que se passou, factual e ligada ao acontecimento em si.

Também podemos perceber a influência dessa visão especular da História da Matemática nas concepções de Piaget & Garcia e na ampliação feita por Brousseau da noção de “obstáculo epistemológico” de Bachelard. Jean Piaget (1896-1980), biólogo, psicólogo, pedagogo e filósofo suíço, escreveu, juntamente com Rolando Garcia, o livro Psicogênese e História das Ciências, publicado em 1982, após o falecimento de Piaget. Neste livro, os autores se posicionam contra uma recapitulação simplista da filogênese pela ontogênese e procuram investigar se os mecanismos de passagem de um período histórico da evolução do pensamento matemático-físico ao seguinte são análogos aos da passagem de um estado genético aos seus sucessores. Piaget & Garcia defendem a tese de que a construção do conhecimento se dá da mesma maneira nos planos psicogenéticos e filogenéticos, através dos mecanismos de passagem. Assim, para aprender Matemática o sujeito teria que reconstruir as mesmas operações cognitivas que marcaram a construção histórica dos objetos matemáticos. O recurso à História da Matemática se apresentaria como uma opção para a busca de conflitos cognitivos que possibilitassem a passagem de uma etapa da construção do conhecimento para outra de nível superior.

Para Piaget & Garcia, a cultura não modifica os instrumentos de aquisição do conhecimento: estes instrumentos fazem parte da esfera biológica do indivíduo e não dependem do meio histórico ou cultural (Radford, 2000, p. 146). Desse modo, é mantida a mesma visão de evolução, previsibilidade, hierarquia e de uma ciência pronta e acabada defendida pelos positivistas. Com isto, apesar de declarar não defender o argumento recapitulacionista, ao fazer a conexão entre a produção do conhecimento nos planos filogenéticos e ontogenéticos, Piaget está implicitamente adotando o “princípio genético” em seus trabalhos.

Sob esta perspectiva teórica, a produção cultural das idéias da Matemática é tratada de uma forma internalista e estruturada, desligada de qualquer contexto, da mesma forma que se desconsidera o condicionamento sócio-cultural no desenvolvimento cognitivo do indivíduo. Esta visão psicologizante também nega a importância das relações entre os sujeitos envolvidos nas relações de ensino-aprendizagem: o sujeito aluno e o sujeito professor, com seus papéis em torno de um saber. Em Miguel & Miorim, (2004, p. 94-95), encontramos uma visão geral das críticas feitas a este tipo de abordagem da História da Matemática: a crença na possibilidade de explicar a origem e a natureza do conhecimento matemático sem recorrer ao problema da validação das verdades matemáticas; a reconstrução histórica das ciências feita por Piaget e Garcia para responder a uma necessidade interna da epistemologia genética defendida por esses autores que não explica o porquê das descontinuidades no processo de produção e circulação das idéias e, principalmente: “a crença na existência de um princípio trans-histórico regulador, legislador, disciplinador e direcionador da marcha supostamente evolutiva das idéias matemáticas”.  

Do mesmo modo, a noção de “obstáculo epistemológico”, criada por Gaston Bachelard (1884-1962) e importada por Guy Brousseau para a didática da Matemática, também traz implícita a visão recapitulacionista. Bachelard viveu como estudante, cientista, filósofo e professor numa época em que a concepção positivista de constatação dos modelos e teorias científicos pelos dados objetivos e experimentais foi abalada com os novos modelos da micro-física e da teoria da relatividade. A partir das conclusões retiradas de sua vivência durante esse rico período da história da ciência, apresentou em seu livro A formação do espírito científico, de 1938, uma periodização da história das ciências que a divide em três estados: o estado concreto, o estado concreto-abstrato e o estado abstrato. O estado positivo de Comte seria correspondente ao estado concreto-abstrato de Bachelard, definido por este como o período em que aplicamos esquemas gerais aos fatos empíricos observados, partindo da experiência para a teoria que a explica. Para Bachelard, a filosofia positivista está ligada à ciência clássica, estando ultrapassada em relação às transformações que o saber científico sofreu. O estado abstrato afasta-se do empírico e busca na polemização da experiência esquemas racionais cada vez mais abstratos, que expressem o novo espírito científico de inventividade.

Para Bachelard, o conhecimento científico ocorre por meio da superação dos “obstáculos epistemológicos”, ou seja, obstáculos surgidos no ato de conhecer na forma de conflitos e lentidões que causam a estagnação e até a regressão no progresso da ciência, causados por conhecimentos antigos, que resistem às novas concepções para manter a estabilidade intelectual, sendo que um obstáculo de origem epistemológica é verdadeiramente constitutivo do conhecimento e pode ser encontrado na história do conceito. (Bachelard, s/d, p. 169).

A noção de obstáculo epistemológico foi ampliada e introduzida na didática da Matemática por Brousseau com a conferência “Os obstáculos epistemológicos e os problemas em Matemática”, realizada no XXVIII encontro do CIEAEM em 1976 e publicada em 1983 no seu artigo de mesmo título. Em tal ampliação, ele caracteriza obstáculo epistemológico como um conhecimento utilizado pelo aluno para produzir respostas que se adaptam a certo contexto que o aluno encontra com freqüência, mas que usado fora desse contexto gera respostas incorretas. Como o aluno resiste às contradições produzidas pelo obstáculo epistemológico e ao estabelecimento de um conhecimento novo, é preciso identificar o obstáculo encontrado e incorporar a negação desse conhecimento anterior ao novo saber, sendo que mesmo depois de ter notado seu erro o aluno ainda pode manifestá-lo de forma esporádica (Brousseau, 1983, p. 175,176). A História da Matemática permitiria identificar os obstáculos epistemológicos superados na construção histórica de um conceito e os transformar em situações-problemas que permitissem a reconstrução do conhecimento matemático, ou seja, seria uma fonte de busca de problemas. (Brousseau, 1983, p. 191, 192).

Entretanto, apesar de apontar para a ruptura e a descontinuidade e negar a evolução linear da ciência pregada pelo positivismo, a noção de “obstáculo epistemológico” continuou de certa forma servindo para se fazer o paralelismo entre a ontogênese e a filogênese, ao apresentar o pressuposto de que os mesmos obstáculos epistemológicos apresentados na produção histórica de um conceito seriam encontrados na prática educacional.

A História da Matemática como uma pintura:

A Perspectiva Sociocultural de autoria de Luis Radford, da Université Laurentienne do Canadá e de Fulvia Furinghetti, professora da Universidade de Genova, na Itália, enxerga o conhecimento matemático como resultante da negociação social de significados e a História da Matemática como uma fonte de experiências humanas que podem ser trabalhadas nas atividades didáticas em matemática, através de um diálogo com as práticas atuais e o contexto da época da produção do conceito. Para Radford, o conhecimento é concebido na perspectiva de Vigostsky, para quem a aprendizagem dos conceitos deveria ter origem na negociação de significados que decorre da atividade social do indivíduo e que é ligada ao seu meio cultural. O construtivismo de Piaget é abandonado e o conhecimento é relacionado diretamente às características sociais, históricas, materiais e simbólicas que marcam as atividades dos indivíduos. O problema nunca é um objeto por si próprio, mas sim resolvido e validado dentro da racionalidade e das crenças da cultura ao qual se liga.

Como exemplo, Radford (1997, 30) cita a emergência da matemática dedutiva dos gregos, que é frequentemente relacionada à organização política das cidades-estado gregas, baseadas na lei, que encorajavam os cidadãos a argumentar e debater. Ele critica esta leitura causal, mecanicista e behaviorista da matemática grega, afirmando que o estilo grego de debater e argumentar não é o determinante para suas concepções matemáticas e sim manifestação de toda uma cultura, desenvolvida pelo compartilhamento de significados de todas as atividades vividas por uma sociedade e que se manifestam na matemática, na arte e em outras manifestações semióticas. Radford e seu grupo assumem como pressupostos epistemológicos que o conhecimento é socialmente construído e ligado a ações necessárias para resolver problemas dentro do contexto sócio-cultural do período considerado, impossibilitando o paralelismo ontofilogenético, e rompem com as diferentes abordagens construtivistas da aprendizagem matemática, que separam a esfera do conhecimento das esferas culturais e educacionais. O significado real de um conceito do passado é inatingível, ele sempre será “filtrado” por nosso padrão de comportamento e por nossas modernas concepções sócio-culturais da história. (Radford, 1997, 27).

O conhecimento matemático é re-criado e co-criado pelo aluno através do uso de signos e do discurso, ou seja, o conhecimento matemático resulta da negociação social dos signos, é um processo lingüístico-semântico. A História da Matemática torna-se inspiradora de seqüências didáticas para o ensino-aprendizagem ao possibilitar a constituição dos contextos e circunstâncias de produção dos conceitos, das significações produzidas e negociadas na produção, circulação, recepção e transformação desse conhecimento. Nessa abordagem sociocultural, a investigação dos textos matemáticos de outras culturas busca examinar as práticas culturais nas quais eles estavam envolvidos e, através do contraste com as notações e conceitos que são ensinados hoje, perceber os tipos de exigência intelectual exigidas dos estudantes. As categorias semióticas encontradas nos diversos momentos da constituição de um conceito são trabalhadas na reinvenção de fórmulas, aumentando os níveis de generalização requeridos no enfrentamento dos problemas apresentados nas seqüências de ensino (Radford, Boero & Vasco, 2000, p. 164).

O projeto de Radford não pode ser interpretado como recapitulacionista, pois não há nenhuma pressuposição de subordinação do presente ao passado. A História da Matemática serviria como um ponto de partida para o desenho de novas atividades para que os estudantes, de forma ativa, recriassem significados e conceitos e co-criassem outros novo, agindo e pensando por meio dos conceitos, significados e ferramentas de sua cultura. (Radford, Boero & Vasco, 2000, p. 165).  Radford (1997, p. 32) afirma que uma investigação histórico-epistemológica cultural também precisa demonstrar os modos de confrontação dos diferentes programas de pesquisa em certos momentos do desenvolvimento da matemática, não somente em relação aos aspectos cognitivos do programa vitorioso, mas também em relação aos valores e compromissos do contexto sociocultural desta confrontação.

A Perspectiva dos Jogos de Vozes e Ecos introduzida pelos investigadores italianos Paulo Boero, B. Pedemonte, E. Robotti e G. Chiappini adota o construto teórico de Jogos de Linguagem de Wittgenstein e o construto teórico Vozes de Bakhtin, para buscar na História da Matemática contradições entre as vozes históricas produzidas na sistematização do discurso teórico da matemática e as vozes dos estudantes.  Para Boero e seu grupo a dificuldade de transmissão do conhecimento matemático na escola giraria em torno de problemas nos quais a linguagem desempenha papel central. A escola seria responsável pela transmissão das características próprias do conhecimento matemático que não são encontradas no cotidiano: a natureza teórica e sistemática; sua coerência interna; a natureza dos processos de validação desse conhecimento e a natureza específica da dimensão discursiva da linguagem matemática. A hipótese principal do grupo de Boero é a de que os Jogos de Vozes e Ecos podem permitir ao estudante alcançar um horizonte cultural difícil de construir na abordagem construtivista ao conhecimento teórico e também difícil de ser mediado através de abordagens tradicionais: concepções intuitivas, métodos experimentais distantes do horizonte cultural dos alunos e tipos de organização do discurso científico que não são partes naturais do discurso do estudante. Assim, Boero e seus colaboradores têm investigado a História na Educação Matemática para explicitar as características de um conteúdo matemático teórico e as condições histórico-culturais de sua emergência na busca de vozes, ou seja, dessas expressões verbais ou não que representam importantes saltos históricos na evolução da ciência e da Matemática. Essas vozes, se apropriadas e ressignificadas por outras pessoas produzem ecos, isto é, conexões estabelecidas entre diferentes vivências de pessoas de diferentes épocas e de diferentes culturas. Os ecos são multiplicados e aprofundados pela exploração em classe das vozes originais e dos ecos produzidos pelos alunos. Estes ecos renovam as vozes originais em termos de expressões e referências culturais e ao professor caberia mediar as vozes históricas que permitiriam ao aluno internalizar, através do diálogo, as características do conhecimento teórico e científico com suas características histórico-culturais próprias.  (Boero, Pedemonte, Robotti, p. 6, 1997).

Do mesmo modo, acreditamos que entender a importância das crenças no processo de ensino e aprendizagem de matemática pode ser um dos caminhos para a integração da História da Matemática em Educação Matemática, como forma de ajudar a promover uma interlocução entre as diferentes culturas em diferentes épocas. Para Chacón (2003, p. 200), encontramos na sala de aula uma multiplicidade de culturas relacionada ao “mundo invisível de valores e crenças” do professor e dos alunos que interfere na qualidade da aprendizagem da matemática. Segundo essa autora, a perspectiva antropológica, ao propor a idéia de cultura como um conjunto de maneiras de pensar, sentir e agir compartilhadas por um grupo, possibilitaria uma intervenção no currículo que levasse em conta como a história pessoal e a história cultural do aluno afetam seu pensamento matemático e sua aprendizagem da matemática.

 No Brasil, Ubiratan D’Ambrósio coordena um programa de pesquisa sobre geração, organização intelectual e social e difusão de conhecimento interculturais. No desenvolvimento de sua crítica da imposição da cultura do dominador aos povos indígenas, afro-americanos, não-europeus, trabalhadores oprimidos e classes marginalizadas, surgiu o termo etnomatemática. Para este autor, a disciplina que denominamos “matemática” seria na realidade uma etnomatemática, ou seja, a desenvolvida na Europa mediterrânea, com influências das civilizações indiana e islâmica e que adquiriu sua forma atual e seu caráter de universalidade a partir dos século XVI e XVII, com o desenvolvimento das ciências e tecnologias do modernismo. Assim, as características de precisão, rigor e exatidão teriam origens na Antiguidade grega e nos países centrais da Europa, principalmente Inglaterra, França, Itália e Alemanha, na Idade Moderna. 

Contra a imposição da matemática eurocêntrica a alunos com raízes culturais diferenciadas, D’Ambrósio (2005) cita o ensino do sistema decimal a populações indígenas que sempre resolveram seus problemas com seus sistemas numéricos específicos. Também contesta a tentativa de afirmar que a “etnomatemática do branco” é mais eficiente que a “etnomatemática do índio”, afirmando que, ao removermos as questões do contexto de atuação de determinada etnomatemática elas se tornam falsas questões. O domínio de duas etnomatemáticas, conforme a concepção de D’Ambrósio, ofereceria novas possibilidades de enfrentamento de questões em seus contextos específicos: o índio ao aprender a matemática do branco poderia negociar em melhores condições, por exemplo. Entretanto, note-se que não há a adoção da matemática do branco e sim uma nova aprendizagem sobre atuação em novos contextos, preservando e valorizando a cultura indígena.

Uma importante crítica feita à etnomatemática neste sentido é a de que não podemos nos preocupar somente com os conhecimentos próprios de cada cultura e sim em caminhar em direção ao conhecimento universalmente aceito, que garantirá a inserção social dos indivíduos. Assim, embora a etnomatemática possa considerar a matemática acadêmica como “hostil” às características culturais de determinados grupos, tal fato não justifica que a matemática formal não lhes deva ser apresentada. Concordamos com Rosa & Orey (2005, p. 133) quando esses autores afirmam que se a etnomatemática mantiver um direcionamento somente antropológico e etnográfico, levará pesquisadores e educadores a associarem-na a uma perspectiva folclorista e “primitivista”. Para esses autores, além de evidenciar o caráter cultural da matemática, a etnomatemática também deve proporcionar aos alunos uma ação pedagógica que conecte as diferentes práticas matemáticas com as práticas próprias da matemática acadêmica.

Em oposição ao defendido pelo “princípio genético”, estas abordagens da História da Matemática em sala de aula têm buscado retratar as feições próprias do conhecimento matemático, dependentes dos matizes sócio-culturais que influenciaram os diferentes períodos históricos. Assim, em nosso trabalho encaramos estas perspectivas como “pinturas”.  Nelas, o conhecimento é concebido como uma prática culturalmente mediada, resultante das atividades nas quais as pessoas se engajam, dentro da racionalidade de cada cultura em consideração. A abordagem da construção de um conceito é vista de forma localizada em um determinado tempo e espaço, pertencentes a uma determinada cultura que não é uma imagem primitiva de nossa cultura e sim a realidade histórico-cultural de uma época. A História da Matemática passa a ser, então, tratada como um produto humano: carregada de valores e relativizada em relação aos pressupostos das condições sócio-culturais de sua produção, aceitação e divulgação.

Os múltiplos olhares na integração da História da Matemática na Educação Matemática:

Um dos pontos essenciais para a integração da História da Matemática na Educação Matemática está centrado no papel do professor: os valores que influenciam na sua visão da História da Matemática; suas preocupações com os fatores emocionais, sociais e culturais nos processos de aprendizagem; o grau de conhecimento histórico e matemático que ele possui; sua formação inicial e continuada e suas possibilidades de acesso à bibliografia especializada entre outros aspectos. Silva (2001) relaciona as funções da História da Matemática na formação de professores com as diferentes concepções de matemática. Para aqueles que vêem a Matemática como uma ciência pronta e acabada e o ensino como uma relação de dominação, a História da Matemática encontra pouco espaço no processo de ensino-aprendizagem. Em contrapartida, estudar a História da Matemática como uma das múltiplas manifestações culturais da humanidade torna o conhecimento matemático significativo e facilita o entendimento das relações entre este conhecimento e o homem, em um dado contexto cultural.

Bicudo & Garnica (2003) ao apresentarem as características dos textos matemáticos justificam a importância do conhecimento da História da criação de um conceito matemático para dar significado ao texto científico. A manifestação do discurso “científico” da Matemática é ligada principalmente à pesquisa e ao trabalho dos matemáticos profissionais, em seus grupos de discussão, aceitação e divulgação por meio de textos especializados que admitem a complementação e a circulação de idéias necessárias à produção continuada e cumulativa do conhecimento. O texto científico escrito é formal e precisa ser complementado na apresentação ao grupo de especialistas que o valida com explicações orais sobre sua gênese, não incluída no texto escrito, por meio do uso da língua materna. Já o discurso pedagógico é rico em formas de apresentação, nas quais interagem posturas, metodologias, didáticas, textos escritos e falados para a comunicação do conhecimento já solidificado, disponível e reproduzido, em um modo quase-formal.

Para Valente (2001, p. 218) teríamos a possibilidade de entender com maior nitidez as práticas do fazer matemático por meio de um estudo histórico da profissionalização do meio matemático, da análise da estruturação didática que orienta o campo intelectual da produção matemática e da contribuição das atividades didático-pedagógicas ao desenvolvimento das práticas matemáticas Assim, uma possível reescrita da História da Matemática deveria abordar o contexto cultural da produção e da circulação dos conhecimentos matemáticos, incluindo a Matemática Escolar como uma das formas de apropriação e reelaboração da prática matemática.

Desse modo, acreditamos ser de importância fundamental a preparação do professor para uma compreensão mais profunda de sua própria prática e lamentamos encontrar nos estudos sobre a presença da História da Matemática na formação de professores a constatação de que essa disciplina não tem recebido a atenção que julgamos necessária. Segundo Silva (2001, p. 144), a disciplina de História da Matemática só foi tornada obrigatória no Instituto de Matemática da USP em 1968, apesar de estar prevista no currículo desde 1934, data de criação do curso de Matemática. A oferta desta disciplina passou por sérias dificuldades, como a ausência de bibliografia em língua portuguesa e a falta de professores preparados para ministrá-la. Ainda de acordo com Silva (2001, p. 147), os cursos que hoje oferecem essa disciplina diferem significativamente em relação aos conteúdos de suas ementas, à bibliografia adotada, à carga horária e aos pré-requisitos estabelecidos. Além disso, embora no Brasil a maior parte das Instituições de Ensino Superior seja privada, a disciplina de História da Matemática é mais frequentemente oferecida nas universidades públicas e, mesmo que já exista um número razoável de obras sobre História da Matemática publicadas em português e espanhol, muitas estão esgotadas e o leitor em geral tem dificuldades de acesso à bibliografia especializada. Por outro lado, embora temas específicos sobre História da Matemática estejam incluídos na avaliação nacional dos cursos de graduação do país, o provão, e existam recomendações nos atuais Parâmetros Curriculares Nacionais do MEC para que os professores apresentem os conceitos em uma visão histórica, contraditoriamente a História da Matemática não está incluída nos conteúdos mínimos exigidos pelo MEC para os currículos de Matemática.

Como sugestões para a formação inicial ou continuada de professores em História da Matemática, Silva (2001, p. 160) sugere o trabalho cooperativo entre o professor de Matemática e o de História ou Filosofia para superar as dificuldades metodológicas no trabalho com fontes primárias, análise de dados, tratamento de informações etc.; a realização de seminários e pesquisas com fontes primárias; a vivência de atividades aplicáveis na prática de sala de aula; a apresentação de referências bibliográficas para o estudo da História da Matemática e a discussão sobre estratégias para a utilização de fontes primárias.

O trabalho com fontes originais pode propiciar uma amplo trabalho com a História da Matemática em sala de aula: a construção de significados, a contextualização, a interdisciplinaridade, a construção dos conceitos etc. Para trabalhar com fontes originais precisamos fazer uma análise do contexto em que aquelas idéias surgiram e criar um paralelo entre a linguagem matemática atual e a usada na época. Deste modo, ler as fontes primárias auxilia entender as idéias trazidas pelos materiais secundários, descobrir novas ligações entre as idéias, discernir os cursos da história de um tópico, muitas vezes omitido nas fontes secundárias, e colocar em perspectiva algumas interpretações, julgamentos de valor e até falsas apresentações encontradas na literatura. Entretanto, as atividades de trabalho com fontes originais demandam muito tempo e por esta razão o esforço que elas demandam em educação matemática deve ser bem avaliado.

Para Schubring (1997, p. 157) quando introduzimos elementos históricos na sala de aula por meio dos textos originais ou de biografias de matemáticos ilustres estamos fazendo uma abordagem direta da História da Matemática em sala de aula. Na abordagem direta a descoberta dos conceitos é apresentada em toda a sua extensão e a legitimação para seu uso é baseada nas possibilidades de aumentar o interesse dos alunos e motivá-los para o estudo da Matemática. A abordagem indireta aconteceria quando se apresentasse uma análise da gênese dos problemas, dos fatos e das demonstrações envolvidos no momento decisivo dessa gênese. Ainda de acordo com Schubring (1997, p. 58), a abordagem indireta na formação de professores favorece a constituição de um meta-saber capaz de contribuir para uma melhor orientação dos processos pedagógicos. Além disso, pode servir como base para a compreensão do desenvolvimento da matemática não como uma concepção continuísta e cumulativa, mas com fases alternadas de continuidade e rupturas. Esse meta-saber também contribui para a visão das diferenças epistemológicas e conceituais do desenvolvimento da matemática nas diferentes culturas e sociedades e para se reconsiderar o papel dos erros como reveladores de todos os fatores já mencionados: a limitação dos valores dominantes em uma comunidade matemática, a indicação de rupturas, de desenvolvimentos não contínuos e da importância de concepções epistemológicas.

 Acreditamos que esse modo de integrar a História da Matemática em sala de aula se aproxima da proposta de Miguel & Miorim (2004) sobre a constituição do meta-saber do professor por meio das “histórias pedagogicamente vetorizadas”. (Miguel & Miorim, 2004, p. 156). Para estes autores uma história pedagogicamente vetorizada é uma história que parte dos problemas da cultura matemática da escola, do modo como as idéias matemáticas se constituíram e se transformaram no interior das práticas escolares em conexão com as outras práticas sociais em outros contextos institucionais, contrapondo uma tendência tecnicista e neutra da abordagem da cultura matemática a uma discussão dos problemas de natureza ética envolvidos nas diversas práticas sociais da Matemática. Na concepção de Miguel & Miorim (2004, p. 156), as problematizações lançadas na formação dos professores partem de práticas pedagógicas do presente e são feitas pensando nos estudantes de licenciatura e nos futuros alunos desses estudantes, não se preocupando em acrescentar à abordagem lógica uma abordagem histórica de natureza factual. Ao contrário, a historiografia é vista como uma fonte de diálogo que estabeleça novas relações, respostas múltiplas e possibilidades para as respostas que procuramos no presente, mostrando as relações de poder nas diversas práticas sociais envolvidas na constituição, apropriação, ressignificação e transmissão do tema ou problema em estudo. Os autores justificam a importância de um trabalho com essas preocupações como uma forma de através do ato educativo, inclusive do futuro professor, preparar os sujeitos sociais para a inserção na vida social pública como representantes e atores de diferentes comunidades que participam do processo de constituição da Matemática e da Educação Matemática

Conclusões:

Acreditamos que a Matemática revela novos modos de pensar que enriquecem o intelecto humano. Mais que uma disciplina de estudo, ela é um patrimônio da humanidade, o resultado do esforço coletivo dos homens e mulheres que de alguma maneira lhe deram forma, a transmitiram e a enriqueceram. Partilhar esse conhecimento é, além de função da educação, um dos sentidos da vida em sociedade: é participar da distribuição dos vários tipos de bens comuns, construídos na busca da sublimação, da evolução, de aperfeiçoamento. Uma concepção de educação que valorize as dimensões emocionais, psicológicas, cognitivas e sociais do aluno deve se ligar às possibilidades que a Matemática pode oferecer ao homem de expandir sua compreensão sobre o mundo que o rodeia, sobre sua capacidade de lidar com os conhecimentos matemáticos, sobre as conexões da Matemática com as outras ciências e, principalmente, sobre seu direito de conhecer Matemática independentemente de suas opções profissionais ou estudantis. Nesses termos, ao enxergamos a Matemática como uma produção cultural, tacitamente assumiremos que a História da Matemática não é um reflexo imediato do que foi a realidade de uma época, a ser “usado” em sala de aula como uma forma de reproduzir a elaboração de um conceito ou de apresentá-lo. Ao contrário, vemos na História da Matemática a possibilidade de trabalhar a re-criação, ou a re-descoberta, de um conceito em sala de aula a partir da discussão sobre a objetividade e a validade universal da Matemática em relação à sua produção histórica social e culturalmente determinada, às negociações de significados envolvidas nos diversos contextos sociais e às mudanças conceituais ocorridas no decorrer do tempo.

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SILVA, Circe Mary Silva da. A história da matemática e os cursos de formação de professores. In Cury, Helena Noronha (org.). Formação de professores de matemática: uma visão multifacetada. Porto Alegre: EDIPUCRS, 2001, p. 129-165.

VALENTE, W. R. História da Matemática Escolar no Brasil. In: Anais do IV Seminário Nacional de História da Matemática, p. 207-219. Natal – RN. Editora da SBHMat, Rio Claro, 2001.       

5. O jogo na educação: aspectos didático-metodológicos do jogo na educação matemática

O JOGO NA EDUCAÇÃO: ASPECTOS DIDÁTICO-METODOLÓGICOS DO JOGO NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA[i]

       Profª Drª Regina Célia Grando

       As crianças, desde os primeiros anos de vida, gastam grande parte de seu tempo brincando, jogando e desempenhando atividades lúdicas. Os adultos têm dificuldades de entender que o brincar e o jogar, para a criança, representam sua razão de viver, onde elas se esquecem de tudo que as cerca e se entregam ao fascínio da brincadeira.

      Muitos pais consideram que a brincadeira representa um prêmio e não é compreendida como uma necessidade da criança. A criança pode começar a se desinteressar pelas atividades escolares, pois estas representam um empecilho à brincadeira, uma forma de punição.

      Ao ser observado o comportamento de uma criança em situações de brincadeira e/ou jogo percebe-se o quanto ela desenvolve sua capacidade de resolver problemas.

2.1- Jogo desenvolvimento

      A psicologia do desenvolvimento destaca que a brincadeira e o jogo desempenham funções psicossociais, afetivas e intelectuais básicas no processo de desenvolvimento infantil. O jogo se apresenta como uma atividade dinâmica que vem satisfazer uma necessidade da criança.

      O jogo propicia um ambiente favorável ao interesse da criança pelo desafio das regras impostas por uma situação imaginária que pode ser considerada como um meio para o desenvolvimento do pensamento abstrato.

É fundamental inserir as crianças em atividades que permitam um caminho que vai da imaginação à abstração de estratégias diversificadas de resolução dos problemas em jogo. O processo de criação está diretamente relacionado à imaginação.

      É a estrutura da atividade de jogo que permite o surgimento de uma situação imaginária.

      É no jogo e pelo jogo que a criança é capaz de atribuir aos objetos significados diferentes; desenvolver a sua capacidade de abstração e começar a agir independentemente daquilo que vê, operando com os significados diferentes da simples percepção dos objetos.

      O jogo depende da imaginação e é a partir desta situação imaginária que se traça o caminho à abstração.

      O jogo pode representar uma simulação matemática na medida em que se caracteriza por ser uma situação irreal, criada para significar um conceito matemático a ser compreendido pelo aluno.

      Não se pode apenas observar um fenômeno matemático acontecendo e tentar explicá-lo, como acontece com a maioria dos fenômenos físicos ou químicos. A matemática existe no pensamento humano e depende de muita imaginação para definir suas regularidades e conceitos.

      É necessário que a escola esteja à importância do processo imaginativo na constituição do pensamento abstrato.

      Nos jogos simbólicos, ocorre a representação pela criança, do objeto ausente, já que se estabelece uma comparação entre um elemento real, o objeto e um elemento imaginado, o que ele corresponde, através de uma representação fictícia.

A regra estabelece o movimento a ser conferido ao jogo. O mais importante é que além da regra, as jogadas dos adversários também representam um limitador, definindo uma interdependência entre as várias jogadas.

      O planejamento no jogo de regras é definido pelas várias antecipações e construções de estratégias.

2.2 – Jogo no ensino da matemática

      Ao analisarmos os atributos e/ou características do jogo que pudessem justificar sua inserção em situações de ensino, evidencia-se que este representa uma atividade lúdica, que envolve o desejo e o interesse do jogador pela própria ação do jogo, e envolve a competição e o desafio que motivam o jogador a conhecer seus limites e suas possibilidades de superação de tais limites, na busca da vitória, adquirindo confiança e coragem para se arriscar.

      Quando são propostas atividades com jogos para alunos, a reação mais comum é de alegria e prazer pela atividade a ser desenvolvida. O interesse pelo material do jogo, elas regras ou pelo desafio proposto envolvem o aluno, estimulando-o à ação.

      É necessário que a atividade de jogo proposta, represente um verdadeiro desafio ao sujeito despertando-o para a ação, para o envolvimento com a atividade, motivando-o ainda mais.

      O jogo, pelo seu caráter propriamente competitivo, apresenta-se como uma atividade capaz de gerar situações-problemas provocadoras, onde o sujeito necessita coordenar diferentes pontos de vista, estabelecer várias relações, resolver conflitos e estabelecer uma ordem.

      As crianças pequenas aprendem muito, apenas com a ação nos jogos.

      Para o adolescente, onde a cooperação e interação no grupo social são fontes de aprendizagem, as atividades com jogos de regras representam situações bastante motivadoras e de real desafio.

      Quando nos referimos à utilização de jogos nas aulas de matemática como um suporte metodológico, consideramos que tenha utilidade em todos os níveis de ensino. O importante é que os objetivos com o jogo estejam claros, a metodologia a ser utilizada seja adequada ao nível que se está trabalhando e, principalmente, que represente uma atividade desafiadora ao aluno para o desencadeamento do processo.

      É na ação do jogo que o sujeito, mesmo que venha a ser derrotado, pode conhecer-se, estabelecer o limite de sua competência enquanto jogador e reavaliar o que precisa ser trabalhado, desenvolvendo suas potencialidades, para evitar uma próxima derrota.

      Considera-se que o jogo, em seu aspecto pedagógico, se apresenta produtivo ao professor que busca nele um aspecto instrumentador, e, portanto, facilitador na aprendizagem de estruturas matemáticas, muitas vezes de difícil assimilação, e também produtivo ao aluno, que desenvolveria sua capacidade de pensar, refletir, analisar, compreender conceitos matemáticos, levantar hipóteses, testá-las e avaliá-las com autonomia e cooperação.

      Portanto, situações que propiciem à criança uma reflexão e análise do seu próprio raciocínio, que esteja fora do objeto, nos níveis já representativos, necessitam ser valorizados no processo de ensino-aprendizagem da matemática e o jogo demonstra ser um instrumento importante na dinamização desse processo.

      A competição inerente aos jogos garante-lhes o dinamismo, o movimento, propiciando um interesse e envolvimento naturais do aluno e contribuindo para seu desenvolvimento social, intelectual e afetivo.

  

2.3 – Cooperação no jogo de regras

      O desenvolvimento da criatividade é resultante da ação do indivíduo no jogo, onde ele exerce seu poder criador, elaborando estratégias, regras e cumprindo-as. No contexto do jogo, ele se insere num mundo de fantasia, irreal, criado por ele, onde exerce um certo poder e é capaz de criar.

      Não se pode negar a importância dos jogos no desenvolvimento da criatividade, já que eles representam a própria criação humana, que vem satisfazer a necessidade do indivíduo de conhecimento da realidade, pelo prazer propiciado pelas atividades lúdicas.

      O jogo propicia o desenvolvimento de estratégias de resolução de problemas na medida em que possibilita a investigação.

      Analisando a relação entre o jogo e a resolução de problemas, ambos enquanto estratégias de ensino, evidenciam-se vantagens no processo de criação e construção de conceitos, quando possível, através de uma ação comum estabelecida a partir da discussão matemática entre os alunos e entre o professor e os alunos.

      Para efeito de se trabalhar com jogos numa perspectiva de resolução de problemas, estas etapas se confundem, pois, muitas vezes, o aluno, na situação de jogo, só compreende o problema depois que o executa e a avaliação de uma jogada pode vir a acontecer depois de muitas outras jogadas.

      A inserção de jogos no contexto de ensino-aprendizagem implica em vantagens e desvantagens por inúmeros estudiosos:

  

       Para a atividade de jogo em ambiente escolar, a combinação jogo com a linguagem de programação pode vira facilitar o trabalho do professor-orientador da ação, na medida em que possibilita o resgate das estratégias de jogo, a partir do programa do aluno.

     

2.4 – A análise de possibilidades no jogo de regras

      Diante das situações-problema de jogo que se apresentam ao sujeito, quando ele age sobre o jogo e o constante desafio em vencê-lo, novos espaços para a elaboração de estratégias de jogo são abertos. A análise de possibilidades é marcada por tomada de decisões sobre quais estratégias poderiam ser eficazes.

      Os jogos de estratégia favorecem a construção e a verificação de hipóteses. As possibilidades de jogo são construídas a partir destas hipóteses que vão sendo elaboradas pelos sujeitos.

2.5 – O erro na situação de jogo

      É possível a um jogador errar em uma jogada, não optando pela melhor, e, obter a vitória no jogo. A constatação sobre o conjunto de jogadas mal realizadas, ao final de um jogo em que o sujeito perde para o adversário, pode levá-lo a refletir sobre ações realizadas e elaborar estratégias a fim de vencer o jogo, resolver o problema.

      Após a constatação de um fenômeno, ou mesmo a construção de um sistema, os erros obtidos durante o processo são repensados, reformulados e abolidos, dando lugar ao rigor na apresentação.

      A análise do erro do aluno e a construção das estratégias de resolução dos problemas de jogo fornecem ao professor subsídios para a sistematização dos conceitos trabalhados durante a situação de jogo.

      O processo de sistematização dos conceitos e/ou habilidades do pensamento matemático que vão emergindo no decorrer das situações de jogo deve ser desencadeado pelo profissional responsável pela intervenção pedagógica com os jogos.

2.6 – Momentos de jogo

1º ) Familiarização com o material do jogo;

2º) Reconhecimento das regras;

3º) O jogo pelo jogo,

4º) Intervenção pedagógica verbal;

5º) Registro do jogo;

6º) Intervenção escrita;

7º) Jogar com competência.

2.7 – Cálculo mental e jogo

      A importância da habilidade de cálculo mental é apontada por vários autores como sendo necessária para uma significativa compreensão do número e de suas propriedades, estabelecimento de estimativas e para o uso prático nas atividades cotidianas. Além disso, a habilidade com o cálculo mental pode fornecer notável contribuição à aprendizagem de conceitos matemáticos e ao desenvolvimento da aritmética.

      O cálculo mental está centrado no fato de que um mesmo cálculo pode ser realizado de diferentes formas.

      O mais importante ao cálculo mental é a reflexão sobre o significado dos cálculos intermediários, facilitando a compreensão das regras que determinam os algoritmos do cálculo escrito.

      As estratégias de cálculo mental utilizada pelos sujeitos no seu cotidiano são, na maioria das vezes, bem diferentes dos métodos de cálculo aprendidos em aritmética, na escola. As estratégias representam um plano, um método ou uma série de ações a fim de obter um objetivo específico, resolver um cálculo mental. A matemática escolar valoriza o cálculo do papel e lápis, mesmo sendo pouco significativo para o aluno e demonstrando quase nenhum raciocínio empregado.    

      É importante observar que o cálculo mental não exclui a utilização de papel e lápis, como um registro dos cálculos intermediários. O registro do cálculo mental possui uma forma específica de ser realizado.

      Para o professor o objetivo da resolução das situações-problema escritas é o registro e análise das formas de raciocínio que estão sendo processadas pelos alunos, nas situações simuladas de jogo.

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[i] GRANDO, Regina Célia. O jogo na educação: aspectos didático-metodológicos do jogo na educação matemática. Campinas: Unicamp, 2001.




Leitura complementar:

MOBILIZAÇÕES E (RE)SIGNIFICAÇÕES DE CONCEITOS MATEMÁTICOS EM PROCESSOS DE LEITURA E ESCRITA A PARTIR DE JOGOS 

Cidinéia da Costa Luvison - Universidade São Francisco 

Regina Célia Grando – Universidade São Francisco

Resumo 

O presente trabalho refere-se a um recorte de uma pesquisa de mestrado que busca investigar em que medida os conhecimentos matemáticos são mobilizados e (re)significados, quando explorados em um contexto de leitura e produção escrita em situações de jogo, na perspectiva da resolução de problemas. O objetivo da pesquisa é analisar a relação da leitura e da escrita nas aulas de Matemática, quando exploradas em contextos de resolução de problemas de jogo, a partir da produção de diferentes gêneros textuais. Partindo dessa perspectiva, foi desenvolvida uma sequência de atividades com alunos do 5º ano do Ensino Fundamental, tendo em vista um trabalho de intervenção pedagógica com jogos na perspectiva da resolução de problemas em matemática. Para isso, os alunos tiveram contato com o Kalah, em que, através dos registros orais e escritos, foi possível analisar a aprendizagem matemática sob duas perspectivas, a da leitura e escrita (comunicação de ideias) e da resolução de problemas. Os alunos puderam comunicar suas ideias acerca do jogo, das estratégias, das resoluções de problemas e da produção do gênero carta. Focando nessas duas perspectivas de análise, notou-se que a leitura da regra do jogo, bem como da resolução de problemas traz uma relação de compreensão e significados para os alunos, que, através de um ambiente de investigações, apropriam-se da linguagem e de conceitos matemáticos nos momentos de jogo, levantando hipóteses, conjecturas e validando suas conclusões. Os momentos de leitura e escrita foram subsidiados por uma relação dialógica entre texto e leitor e jogo e cultura. 

Palavras-chave: leitura e escrita em matemática; jogos; séries iniciais do Ensino Fundamental.

Para acessar o texto completo clique no link: http://doi.editoracubo.com.br/10.4322/gepem.2014.001

4. Resolução de problemas na educação matemática

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA PARA A INFÂNCIA [1]

Celi Espasandin Lopes

Regina Célia Grando

Resumo: A Educação Infantil têm enfrentado, ao longo da última década, desafios pelo reconhecimento de sua função pedagógica e dúvidas em relação à elaboração de um currículo, ao mesmo tempo em que apresenta maior clareza frente aos objetivos referentes à formação infantil, quanto à aquisição de capacidades e competências de caráter comunicativo, expressivo, lógico e operativo e o desenvolvimento dos aspectos cognitivos, afetivos, sociais e morais. Uma tarefa importante para a primeira infância é criar um ambiente democrático e crítico, capaz de celebrar uma multiplicidade de perspectivas, uma diversidade de conceitos e práticas e a contestabilidade de todos os conhecimentos e reinvindicações de verdade (MOSS, 2002). Defendemos uma perspectiva curricular e um papel do educador matemático que promovam uma aprendizagem matemática pela resolução de problemas na Educação da Infância. As questões curriculares parecem-nos ser um importante aspecto a se destacar para se discutir a resolução de problemas, já que o currículo necessita refletir o que acontece na sociedade, de onde, naturalmente, emergem problemáticas. Nesse texto analisamos o trabalho pedagógico de uma professora que desenvolve com seus alunos de 4-5 anos, em um ambiente problematizador e de investigação, a resolução de um problema que envolve matemática. Por meio do trabalho em grupo, os alunos se tornaram capazes de participar e comunicar, atendendo às necessidades cognitivas e sociais das crianças. Cada criança, em níveis individuais e de formas individuais, foi bem-sucedida dentro da experiência do grupo, evidenciando que a resolução de problemas capacita as crianças na arte de levantar hipótese, argumentar e produzir conclusões, mesmo que parciais e que são colocadas à prova no momento da socialização. O trabalho com a resolução de problemas facilita a aprendizagem cooperativa e promove diversas ideias, possibilitando às crianças um processo constante de comunicação e apropriação de distintos procedimentos matemáticos.

Palavras-chave: Resolução de Problemas; Educação Matemática; Infância; Currículo

Introdução

Nosso estudo parte da premissa de que a cultura coletiva própria das crianças é crucial para o crescimento, e também, é o meio pelo qual grande parte das circunstâncias de suas vidas é refletida, vivenciada, interpretada (PROUT apud MOSS, 2002).

Ao produzirmos ações educativas para a educação na infância precisamos considerar a cultura infantil, os interesses, as curiosidades e as brincadeiras das crianças.

O desenvolvimento infantil precisa ocorrer em espaços de ensino e aprendizagem decorrentes do modo dialógico, os quais priorizam o conhecimento, o saber e não a transferência de conhecimento. Locais nos quais se produza conhecimento socialmente e se crie novas hipóteses para a leitura de mundo (FREIRE apud MOSS, 2002).

Coerentemente com isso, assumimos a concepção de cenários de investigação gerada por Skovsmose (2000) o qual defende um espaço de aprendizagem no qual os alunos possam matematizar, ou seja, formular, criticar e desenvolver maneiras matemáticas de entender o mundo (SKOVSMOSE, 2001, p.51).

As crianças estão imersas em um mundo sócio-cultural em que as pessoas fazem matemática a todo o momento. Elas observam os adultos nos processos de comprar, vender, trocar, controlam quantidades avaliando o que aumenta, o que diminui, o que não se altera, planejam casas e fazem os cálculos dos materiais necessários, estimam distâncias, tamanho, capacidade, etc. Mesmo as crianças bem pequenas já experimentam estas experiências com a matemática, manipulando objetos, colocando um dentro do outro, desenhando, entendendo o tempo (quanto tempo brincou? quanto tempo vai demorar para um desenho começar, etc.), entendendo quantidades (quantos anos tem? Qual o maior pedaço de bolo, quem tem mais balas, etc.). Tais conhecimentos matemáticos que foram produzidos pelo homem e que o ajudam a fazer uma “leitura matemática de mundo” exercem certo fascínio nas crianças e estimulam a curiosidade epistemológica delas, aumentando o desejo por conhecê-los. Curiosidade epistemológica é um termo utilizado por Paulo Freire e se refere à curiosidade das crianças, jovens, adultos, pelo conhecimento e como se dá a sua produção.

 Nesta perspectiva, defendemos a resolução de problemas na infância, considerando-a como base da aprendizagem da criança, pois a criança vai adquirindo inteligência a partir de suas ações intencionais,

... que ainda são incipientes; e que a fala egocêntrica vai, progressivamente, tornando-se apropriada para planejar e resolver problemas, à medida que as atividades da criança tornam-se mais complexas. (VIGOTSKI, 1998, p. 27).

Assim, a resolução de problemas necessita ser valorizada, promovida, prevista, e sustentada nas salas de aula da primeira infância. Oportunidades para a resolução de problemas ocorrem no contexto da vida quotidiana de uma criança. Ao observar a criança de perto, os professores podem explorar as situações sociais nas quais as crianças estão inseridas, a capacidade cognitiva da criança, o movimento imaginário e as experiências emocionais, para facilitar a resolução de problemas e promover estratégias úteis no processo de aprendizagem ao longo da vida.

A Educação Infantil têm enfrentado, ao longo da última década, desafios pelo reconhecimento de sua função pedagógica e dúvidas em relação à elaboração de um currículo, ao mesmo tempo em que apresenta maior clareza frente aos objetivos referentes à formação infantil, quanto à aquisição de capacidades e competências de caráter comunicativo, expressivo, lógico e operativo, e o desenvolvimento dos aspectos cognitivos, afetivos, sociais e morais. Uma tarefa importante para a primeira infância é criar um ambiente democrático e crítico, capaz de celebrar uma multiplicidade de perspectivas, uma diversidade de conceitos e práticas e a contestabilidade de todos os conhecimentos e reinvindicações de verdade (MOSS, 2002).

Ao vislumbrarmos uma formação mais significativa e critica precisamos considerar a valorização e enriquecimento do cotidiano, da cultura infantil. Na perspectiva Vygotskiana, a cultura forma a inteligência e a brincadeira favorece a criação de situações imaginárias e reorganiza experiências vividas. Nesse sentido, a aprendizagem inicia-se a partir de brincadeiras nas quais se aprende a criar significações, a estabelecer comunicação com o outro, a decodificar regras, a expressar a linguagem, a tomar decisões e socializar-se.

A partir dessas considerações e pressupostos defendemos uma perspectiva curricular e um papel do educador matemático que promovam uma aprendizagem matemática pela resolução de problemas na Educação da Infância.

 Perspectiva curricular

As questões curriculares parecem-nos ser um importante aspecto a se destacar para se discutir a resolução de problemas, já que o currículo necessita refletir o que acontece na sociedade, de onde, naturalmente, emergem problemáticas. As questões culturais norteadoras da definição de um tema a ser incluído ou excluído de um currículo nem sempre estão bem clarificadas aos olhos dos professores, que necessitam ser os agentes do currículo. Essa consideração amplia a responsabilidade dos professores que precisam atualizar constantemente o currículo que colocam em ação. Oliveira (2002) destaca que os profissionais da Educação Infantil necessitam ser competentes em suas tarefas, considerando o momento sócio histórico de um mundo complexo e contraditório, precisando, para isso, adquirir uma formação ética e manter suas ações docentes pautadas no processo reflexivo, que exige investimento emocional, compromisso com o desenvolvimento das crianças e conhecimento técnico-pedagógico.

Ensinar Matemática na Educação Infantil significa entender que fazer matemática é expor ideias próprias, escutar as dos outros, formular e comunicar procedimentos de resolução de problemas, formular questões, perguntar e problematizar, falar sobre experiências não realizadas ou que não deram certo, aceitar erros e analisá-los, buscar dados que faltam para resolver problemas, explorar o espaço em que ocupa, produzir imagens mentais, produzir e organizar dados, dentre outras coisas. Os conceitos matemáticos, bem como as suas diferentes formas de registro (linguagem matemática) não são definidos por fases, ou etapas de aquisição de linguagem matemática.

Acrescenta-se a isso a ideia de que um trabalho intencional do professor no sentido de possibilitar a aprendizagem matemática da criança não pode ser isolado de outras áreas do conhecimento, bem como definida por etapas e fases. Por exemplo, é muito comum acreditar que não seja possível trabalhar com o sistema de numeração decimal, antes que a criança adquira o conceito de número. Assim, prioriza-se uma quantidade excessiva de atividades de seriação, classificação e ordenação, esperando que a criança seja capaz de conservar quantidades para então trabalhar com o conceito de número. Esta é uma visão que fragmenta a aquisição do conhecimento matemático e define etapas de compreensão do número, primeiro manipular quantidades até 10, depois até 20, 100, etc. A ideia de número se constrói em situações sociais e culturais, de intercâmbio entre as crianças, de necessidades de controlar a variabilidade de quantidades (pontuações num jogo) ou mesmo de necessidade de registrar as quantidades, ou um número em uma sequência numérica (por exemplo, até qual número a criança conseguiu pular na brincadeira de amarelinha).

Os conceitos matemáticos são desenvolvidos basicamente em situações com jogos, brincadeiras e resolução de problemas. O trabalho com a Matemática na Educação Infantil prioriza o processo de letramento matemático que prevê capitalizar as ideias intuitivas das crianças presentes nas experiências matemáticas vivenciadas social e culturalmente, sua linguagem própria e suas necessidades de desenvolvimento intelectual, a fim de explorar uma grande quantidade de ideias matemáticas relativas a números e o sistema de numeração decimal; espaço, forma e medidas; e, noções de combinatória, probabilidade e estatística. Objetiva-se que as crianças desenvolvam e conservem um prazer e uma curiosidade acerca da Matemática.

Assim, as propostas de aprendizagem para infância precisam incorporar contextos do mundo real, as experiências e a linguagem natural da criança no desenvolvimento das noções matemáticas, fazendo com que a criança vá além do que parece saber, ou do que é capaz de experimentar corporalmente, tentando compreender como ela mesma pensa ou age.

Para Zabalza (1998), o aluno da escola infantil é um sujeito não setorizável, ele vai desenvolvendo o afetivo, o social, o motor e o cognitivo como um todo integrado em uma dinâmica intensa.

Dessa forma, entendemos que a Educação Infantil requer um currículo integrado, pois a criança aprende e se desenvolve, sintetizando unidades em totalidades organizadas. Sua percepção de mundo se dá de forma holística, ou seja, segundo uma visão de homem como um todo indivisível, não atribuindo significados ao conhecimento isolado (LOPES, 2003).

Partindo desses pressupostos e concepções, consideramos que as temáticas: números e operações; grandezas e medidas; análise de dados e probabilidade; e, espaço e formas, podem ser abordadas na Educação Infantil desde que respeitadas as especificidades da infância, o contexto sociocultural e o desenvolvimento das crianças. Certamente compreendemos que tais conteúdos sejam abordados de forma integrada aos projetos desenvolvidos na educação da infância, priorizando situações nas quais as crianças estejam envolvidas em cenários de investigação: resolução de problemas, jogos e brincadeiras.

O desenvolvimento da temática números e operações visa a construção do conceito de número e as ideias das operações matemáticas abordadas no contexto infantil, sem se preocupar com a sistematização de algoritmos. A criança precisa perceber o número através das relações de significado que ele assume em situações distintas, ou seja, é importante ao aluno adquirir a percepção da linguagem numérica em conexão com a leitura da realidade.

A temática grandezas e medidas promove o desenvolvimento de habilidades para trabalhar com grandezas e medidas em situações escolares e de vida diária, partindo de medidas não padronizadas, para que as crianças possam perceber a necessidade real das medidas padronizadas.

O estudo da combinatória, da probabilidade e da estatística que compõe a terceira temática denominada análise de dados e probabilidade, possibilita às crianças, a observação de situações de incerteza, o desenvolvimento do raciocínio combinatório que lhes permite levantar e organizar possibilidades e a aquisição de habilidades para organizar e representar informações.

A abordagem da temática, espaço e formas, possibilita as crianças adquirir adequação espacial, expressar sensibilidade através das relações entre a natureza e a geometria, bem como, desenvolver o senso estético.

Entendemos que o currículo da Educação Infantil, bem como as atividades elaboradas para serem desenvolvidas com as crianças, por princípio são interdisciplinares. Não é possível tratar da matemática presente no jogo e na brincadeira, sem articular com o desenvolvimento corporal, motor e com a língua materna. O trabalho com o tratamento da informação (construção de gráficos e tabelas) pode estar articulado a todas as áreas de conhecimento (por exemplo, em Ciências se for produzido uma tabela sobre tipos de alimentação, em Geografia, um gráfico com o número de dias que fez sol e dias que fez chuva, em Educação Física, na construção de equipes, agrupamentos de alunos e exploração do espaço da escola, etc.).

Dessa forma, entende-se que o desenvolvimento de projetos interdisciplinares da Educação são possíveis e desejáveis e que a Matemática pode estar presente nas várias temáticas que compõem o projeto, contribuindo para uma leitura matemática de situações cotidianas e práticas.

Defendemos que a aquisição do conhecimento matemático pela criança na Educação Infantil está atrelada a um modo de pensar e de se expressar matematicamente frente às situações-problema vivenciadas e experienciadas, procurando superar uma concepção de Educação Infantil como preparatória para a aprendizagem matemática no Ensino Fundamental. Acreditamos na ideia de um letramento matemático que possibilite uma leitura também matemática de mundo, ou seja, que a criança esteja capacitada a analisar uma mesma situação-problema a partir de um ponto de vista afetivo, social, motor, científico, lingüístico e porque não dizer, matemático.

Assim, uma proposta curricular para Educação Infantil precisa possibilitar a vivência de experiências artísticas, musicais, lógico-científicas, pictóricas..., espaços diversificados nos contextos originários das crianças, nos quais elas desenvolvam várias habilidades que lhes favoreçam uma formação equilibrada e plena.

A ação do educador matemático na infância

A sociedade contemporânea apresenta um movimento contínuo, rápido e complexo, exigindo da escola uma reflexão constante sobre as ações educativas que promove. Isso remete o professor ao desafio de elaborar atividades para as suas aulas, as quais possam despertar o das crianças. O professor de Educação Infantil precisará inserir-se em um processo de elaboração de seu conhecimento profissional que será centrado na reflexão de sua prática, o qual lhe direcionará a um repensar sobre a elaboração de atividades de ensino, avaliando os êxitos e obstáculos promovidos por elas, considerando as influências do ambiente cultural no qual elas são realizadas.

Para Bujes (2001) a experiência que a criança vive na escola infantil é muito mais completa e complexa. Nela a criança desenvolve modos de pensar, mas também se torna um ser que sente de uma determinada maneira. O desenvolvimento da sensibilidade, o fato de reagir de uma certa maneira frente aos outros e às experiências vividas, o gosto por determinadas manifestações culturais em vez de outras..., não são resultados que devem ser desprezados, quando pensamos no tempo e nas experiências que a criança vive ao longo da Educação Infantil.

Essa complexidade explicitada na experiência da criança precisa ser considerada pelos educadores matemáticos que atuam nessa faixa etária, respeitando o momento de desenvolvimento no qual o aluno se encontra, percebendo que o raciocínio lógico e a construção de conceitos científicos não devem ser foco central de fase de ensino, mas têm de ser considerados na medida em que há manifestações de curiosidade e desejo de conhecimento.

Os educadores de infância precisam reconhecer as competências sóciopsicológicas que as crianças manifestam, bem como sua fragilidade social, quando expressam dependência do adulto para cuidados com higiene e saúde - isso requer desses profissionais a realização de afazeres diversos, que vão incorporar questões físicas, emocionais e cognitivas.

Neste estudo, apresentamos o trabalho desenvolvido pela professora Katia Gabriela, descrito em seu relatório (MOREIRA, 2009). Ela propôs aos alunos do jardim (4-5 anos) o seguinte problema:

“As três galinhas de seu Zé botam ovos todos os dias. Tem galinha que bota um ovo só por dia e tem galinha que bota dois. Um dia seu Zé resolveu fazer um bolo, pois sua filha estava chegando de uma viagem e ela adorava bolo. Para fazer o bolo ele e precisou de cinco ovos. Quantos ovos ele encontrou no galinheiro?”

Fonte: GRANDO, R. TORICELLI, L. e NACARATO, A.M. De professora para professora: conversas sobre IniciAção Matemática. São Carlos: Pedro & João Editores, 2008.

Após a apresentação ela disponibilizou folhas de sulfite para as crianças e solicitou que cada um registrasse: “Quantos ovos ele encontrou?”. “As três galinhas de seu Zé botam ovos todos os dias. Tem galinha que bota um ovo só por dia e tem galinha que bota dois. Um dia seu Zé resolveu fazer um bolo, pois sua filha estava chegando de uma viagem e ela adorava bolo. Para fazer o bolo ele e precisou de cinco ovos. Quantos ovos ele encontrou no galinheiro?”

Durante a produção do registro, ela caminhou pela sala a fim de observar as produções dos alunos, porém sem realizar intervenções. Após algum tempo, os alunos começaram a trazer as suas produções para que ela pudesse visualizar. Nesse momento ela anotou na folha a descrição do desenho de acordo com a fala das crianças.

Posteriormente, ela propôs que fosse realizada a socialização dos registros. Antes do início das apresentações, ela retomou a situação problema fazendo questionamentos como: “O que estava acontecendo com o seu Zé? Por quê? etc. Ao perguntar a quantidade de ovos que as galinhas botavam o Victor falou: “uma galinha bota um, outra dois e outra um”, e neste momento ela percebeu que foi esta a sua resolução do problema. Para ele, seu Zé havia encontrado quatro ovos ao chegar no galinheiro.

Deu-se início, de fato, as apresentações em que cada aluno apresentou aos colegas a sua produção e a partir das problematizações da professora fizeram a descrição de seus registros. A primeira apresentação foi da aluna Yasmin, ela afirmou ter desenhado os ovos dentro do ninho e então a professora questionou: “Quantos ovos o seu Zé encontrou no galinheiro?” e a sua resposta foi: “quinze ovos!” neste momento alguns colegas diziam que a Yasmin estava certa enquanto outros achavam que não. Então a professora perguntou: “Com quinze ovos daria para o seu Zé fazer o bolo?” todos concordaram que conseguiria. Então ela continuou: “Será que ele encontrou quinze ovos?” e o Carlos Eduardo, com um tom de certeza afirmou: “ Não!”, porém quando solicitou uma justificativa ele mudou de ideia e disse: “ Seu Zé encontrou sim, os quinze ovos!”. Neste momento, a professora acreditou que tal mudança foi devido ao fato de não saber justificar a sua resposta e então optou por concordar com a Yasmin. Mas a Mariana explicou fazendo gestos com as mãos: “Porque uma galinha botava um e outra botava dois” e o Victor conclui: “e a outra botava um”, então ela afirmou: “Tinha galinha que botava um ovo e tinha galinha que botava dois!”. Novamente ela perguntou: “Era possível ter 15 ovos no galinheiro?” e a Sophia respondeu: “Não, porque só tinha três galinhas e uma botava um, a outra um e a outra três (fazendo gestos com a mão), ai dava só três ovos!”. Ao final todos chegaram ao um consenso de que seu Zé não podia ter achado quinze ovos no galinheiro, porque era um valor muito alto.

Já o aluno Suhayb afirmou que seu Zé havia encontrado cinco ovos, porém ao ser questionado na hora da socialização ele contou em seu registro três ovos, foi quando a professora perguntou qual era de fato a sua resposta. Suhayb por sua vez disse: “è verdade eu tinha esquecido é cinco mesmo!” e então ela questionou aos demais alunos: “ Seu Zé poderia ter encontrado cinco ovos no galinheiro?” e a resposta foi unânime: “ Não!” e o Victor novamente explicou: “uma galinha bota um, outra dois e outra um”.

A resolução encontrada por Alannis foi semelhante à de Suhayb, pois ela também acreditava que seu Zé havia encontrado cinco ovos no galinheiro, ou seja, ele conseguiria fazer o bolo para sua filha.

Diante do registro do Kaique, que trazia a representação de três ovos, os amigos afirmaram que tal quantidade não era possível, já que também tinha galinha que botava dois e não eram todas que botavam só um.

Ao iniciar sua apresentação a aluna Sophia afirmou: “Eu desenhei cinco ovos, que dava para fazer o bolo, mas ele só encontrou três ovos no galinheiro!”, ou seja, ela explicou que não havia registrado o que foi solicitado, mas sim um dado presente no problema: a quantidade de ovos para fazer o bolo!”. E o aluno Victor concordou com a colega e afirmou: “ Eu acho que tinha três, porque uma galinha botava um e outra dois!” e então a professora lembrou que tinha mais uma galinha. Mas a Sophia insistiu: “ O Tia, uma galinha bota um e a outra galinha bota dois ( este momento ela utiliza os dedos para representar as quantidades) e dá três” e a professora questiona: “ Mas e a outra galinha” e a resposta foi: “ela não botou!. Neste momento, a professora tem clareza de que a Sophia acabara de encontrar uma solução para o problema do seu registro, pois ao identificar que havia se esquecido de registrar uma galinha ela afirmou que a galinha não havia botado nenhum ovo, pois desta maneira não precisaria registrá- la e seu registro estaria completo.

Evidencia-se nessa vivência da professora junto aos seus alunos que a problematização possibilitou a reelaboração do pensamento matemático permitindo a eles a atribuição de significados às quantidades, gerando a construção do conceito de número.

Decorre que o professor necessita adquirir uma significativa compreensão do modo como as crianças pensam, para isso consideramos essencial que se ouça o que elas expressam durante o desenvolvimento das atividades escolares. É necessário também, que esse educador amplie seu conhecimento matemático adquirindo possibilidades para estabelecer conexões entre as temáticas matemáticas e as outras áreas de conhecimento.

Aprendizagem matemática na infância pela resolução de problemas

Não se pode falar em resolução de problemas em matemática sem nos referirmos a interrelação do pensamento e da linguagem que segundo Vigotski (1998) é um dos mais complexos problemas da psicologia. Para o autor,

A imaginação é importante para se descobrir a solução de problemas, mas não se preocupa com a verificação e a comprovação que a busca da verdade pressupõe. A necessidade de verificar nosso pensamento – isto é, a necessidade de atividade lógica – surge mais tarde. (VIGOTSKI, 1998, p. 16).

Na infância a imaginação aguça a curiosidade, gera problematizações e provoca a busca por descoberta, esse fato torna essencial a resolução de problemas nesse momento do desenvolvimento humano. A resolução de problemas é uma destreza social aprendida nas interações sociais no contexto das atividades diárias” (VIGOTSKI apud THORTON, 1998, p. 16).

Essa consideração do autor reforça nossa defesa de uma educação matemática para a infância centrada na resolução de problemas. Inseridas em cenários para investigação (Skovsmose, 2000) as crianças podem se defrontam com objetos com os quais ela lida para representar a realidade e ação atribuir forma aos seus processos mentais.

A resolução de problemas como um meio para ensinar matemática, possibilita um delineamento em direção a uma proposta de educação matemática relacionada à vivência social do educando. Parte-se da necessidade de investigar a realidade social do aluno e oferecer oportunidades a ele de formular problemas a partir de tais situações. A sala de aula passa a ser um lugar de perguntas, problematizações e formulação de problemas ao invés de perguntas e respostas prontas, previsíveis. Um trabalho escolar na perspectiva de resolução de problemas possibilita formar o cidadão para lidar com a incerteza, com as possibilidades, com a tomada de decisões, contribuindo para a sua emancipação. E isso tudo pode começar desde muito cedo, com situações-problema na educação infantil. A questão que se coloca é: como crianças tão pequenas, cuja maioria não sabe nem ler nem escrever, podem resolver problemas de matemática? Há uma necessidade de superar a concepção de que resolver problemas de matemática seja fazer uma conta, a partir de uma regra (algoritmo).

Ao explorar as relações sociais, manipular objetos e interagir com as pessoas, as crianças são capazes de formular ideias, testar essas ideias, e aceitar ou rejeitar o que elas aprendem. A construção do conhecimento por cometer erros faz parte do processo natural de resolução de problemas, pois é através da exploração e experimentação que se analisa hipóteses, e, finalmente, encontra soluções. Nesse processo as crianças tornam a aprendizagem pessoal e com atribuição de significados. Na visão piagetiana as crianças só compreendem o que descobrem ou inventam. É esta constatação, dentro do processo de resolução de problemas que é o veículo para a aprendizagem das crianças. As crianças são incentivadas a construir seu próprio conhecimento quando o professor problematiza situações diversas e insere os alunos em um cenário de investigação marcado pelo tempo, espaço e materiais manipulativos.

Dessa forma, uma proposta pedagógica para uma Educação na Infância necessita priorizar as relações sociais, considerar as vivências da criança, suas necessidades afetivas, psicológicas e cognitivas, possibilitando-lhe uma compreensão de si mesma como ser humano e uma leitura do mundo no qual está inserida. Outro aspecto fundamental a ser considerado é o processo de interação com o outro, pois a criança, ao trabalhar coletivamente, constrói o sentido da cooperação, da solidariedade, do senso crítico e da sensibilidade, percebendo-se como um indivíduo transformador da vida em sociedade.

Problematizar situações simples e do cotidiano da criança mostra-se uma prática pedagógica interessante, pois coloca a criança no movimento de pensamento matemático. Assim, situações do cotidiano como: quantas crianças vieram hoje? Quantas faltaram? Se entrasse um monstro aqui na sala, o que você faria? Por que você perdeu o jogo? Quantos pontos precisaria fazer para empatar com seu colega? O que podemos retirar de uma caixa para que ela feche? Como fazer para entrar ou sair de uma imensa caixa? Como saber quem ainda tem chance de vencer em um jogo?, etc.

Desta forma, a resolução de problemas como metodologia de ensino na Educação Infantil pressupõe:

· Variabilidade na forma de propor os problemas (oralmente, a partir de histórias infantis, dramatizando-as, por meio de imagens, a partir de jogos e brincadeiras, a partir de situações do cotidiano e/ou vivenciadas corporalmente);

· Elaboração, (re)formulação de problemas abertos (problemas que admitem mais do que uma solução, problemas que faltam dados ou que são impossíveis de serem resolvidos) com a possibilidade de atribuição de diferentes sentidos e significados para o contexto do problema;

· O pensamento genuinamente matemático (levantamento de hipóteses, argumentações, validações, registros – escrita e re-escrita). Essas ideias e considerações podem nortear a elaboração de situações didáticas para a aprendizagem da matemática nas aulas da Educação Infantil.

Considerações Finais

Um currículo que considera uma variedade de níveis de desenvolvimento, bem como diferenças individuais das crianças, prepara as crianças para o cenário de investigação, problematização, em uma diversidade de situações da cultura infantil. 

O trabalho com a resolução de problemas facilita a aprendizagem cooperativa e promove diversas ideias, possibilitando às crianças um processo constante de comunicação e apropriação de distintos procedimentos matemáticos. O que propicia o desenvolvimento cognitivo e afetivo da criança a partir de experiências significativas e compartilhadas é a possibilidade de aproximar as crianças do conhecimento científico, sem desprezar suas formas de aprendizagem marcadas pela exploração, vivência, manipulação, jogos e brincadeiras.

Percebe-se pelo trabalho desenvolvido pela professora Katia Gabriela que, através do trabalho em grupo, os alunos se tornaram capazes de participar e comunicar, atendendo às necessidades cognitivas e sociais das crianças. Cada criança, em níveis individuais e de formas individuais, foi bem-sucedida dentro da experiência do grupo, evidenciando que a resolução de problemas capacita as crianças na arte de levantar hipótese, argumentar e produzir conclusões, mesmo que parciais e que são colocadas à prova no momento da socialização.

A resolução de problemas é uma habilidade que pode ser aprendida e necessita ser praticada. Isso é viabilizado por uma prática pedagógica que favorece uma aprendizagem que equaciona a cultura infantil, o tempo e espaço formativo em um cenário de investigação. Além disso, ao avaliar o processo de resolução de problemas, as crianças avaliam suas escolhas e erros, aprendendo a serem avaliadoras de sua produção e da produção do outro.

O processo de resolução de problemas - fazer escolhas e aprender com eles - é promovido pelo professor que ao observar, ouvir e perguntar, provoca com perguntas do tipo: "O que aconteceria se ...?" e "De que outras formas você pode pensar em ...?"

O processo investigativo permite que a criança, em um mundo cada vez mais complexo e diverso, seja um participante ativo e capaz de se adequar e promover transformações.

Referências

BUJES, M. I. E. Escola Infantil: para que te quero? IN: Craidy,C.; Kaercher,G. (orgs.) Educação Infantil: pra que te quero? Porto Alegre: Artmed, 2001.

LOPES, C. E. O conhecimento profissional dos professores e suas relações com estatística e probabilidade na educação infantil. 290 f. Tese (Doutorado) – Faculdade de Educação. Universidade Estadual de Campinas. Campinas, 2003.

MOREIRA. K. G. Registros produzidos por crianças pequenas em situações de resolução de problemas não convencionais: possibilidades de investigação sobre o pensamento matemático das crianças. Relatório de Pesquisa de Iniciação Científica. Bolsista PROBAIC/Universidade São Francisco, Itatiba, SP, 2009.

MOSS, P. Reconceitualizando a infância: crianças, instituições e profissionais. In: MACHADO, M. L. (Org.) Encontros e desencontros em educação infantil. São Paulo: Cortez, 2002. p.235-248.

OLIVEIRA, Z. Educação Infantil: fundamentos e métodos. São Paulo: Cortez, 2002.

SKOVSMOSE, O. Cenários de investigação. Bolema – Boletim de Educação Matemática, Rio Claro (SP), n. 14, p. 66-91, 2000.

THORNTON, Stephanie. La resolución infantil de problemas. Madrid: Morata, 1998.

VIGOTSKI, L. S. Pensamento e Linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 1998.

ZABALZA, M. A. Qualidade em Educação Infantil. Porto Alegre: Artmed, 1998.

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[1] XVI ENDIPE - Encontro Nacional de Didática e Práticas de Ensino - UNICAMP - Campinas - 2012